<!DOCTYPE html>
<html lang="zh-cn">
<head>
    <title>线性空间</title>
    <meta charset="utf-8" />
    <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/note.css" />
</head>
<body>

<h2>线性空间与其子空间</h2>

<h3>线性空间</h3>

<p>	类比于平面仿射几何系统, 我们抽象出线性空间的概念:</p>

<ol class="definition" style="list-style-type:lower-roman"
	id="def-linear-space">
	令集合 `V != O/`, `bbb P` 为一数域 (如 `QQ`, `RR`, `CC`),
  "`+`" 为 `V` 上的一个二元运算,
	称为<b>加法</b>, "`*`" 为 `bbb P xx V` 到 `V` 的一个二元合成,
	称为<b>数乘</b>.
	称代数系统 `(V";" +, *";" bbb P)` 为数域 `bbb P`
	上的<b>线性空间</b>, 如果它满足下面 8 条<b>基本性质</b>:
	<li>加法交换律. `(AA bm alpha, bm beta in V)`
		`bm alpha + bm beta = bm beta + bm alpha`;
	</li>
	<li>加法结合律. `(AA bm alpha, bm beta, bm gamma in V)`
		`(bm alpha + bm beta) + bm gamma = bm alpha + (bm beta + bm
		gamma)`;
	</li>
	<li>(右) 零元存在. `(EE bm theta in V)` `(AA bm alpha in V)`
		`bm alpha + bm theta = bm alpha`;
	</li>
	<li>(右) 负元存在. `(AA bm alpha in V)` `(EE bm alpha' in V)`
		`bm alpha + bm alpha' = bm theta`;
	</li>
	<li>数乘对 `V` 上加法的分配律.
		`(AA bm alpha, bm beta in V, AA k in bbb P)`
		`k * (bm alpha + bm beta) = k * bm alpha + k * bm beta`;
	</li>
	<li>数乘对 `bbb P` 上加法的分配律.
		`(AA bm alpha in V,  AA k, l in bbb P)`
		`(k + l) * bm alpha = k * bm alpha + l * bm alpha`;
	</li>
	<li>数乘下数字的穿越.
		`(AA bm alpha in V, AA k, l in bbb P)`
		`(kl) * bm alpha = k * (l * bm alpha)`;
	</li>
	<li>设 `1` 是 `bbb P` 中的幺元, `(AA bm alpha in V)`
		`1 * bm alpha = bm alpha`.
	</li>
	不引起混淆的情况下, 把线性空间也简记简记为 `V`.
	把线性空间中的元素称为<b>向量</b>,
	数乘的乘号可以省略.
</ol>

<p class="remark">
	注意, "二元运算" 与 "二元合成" 隐含 `V` 对运算封闭,
	即对任意 `bm alpha, bm beta in V` 和任意 `k in bbb P`,
	<span class="formula">
		`bm alpha + bm beta in V`, `quad` `k bm alpha in V`.
	</span>
	这也等价于对任意 `bm alpha, bm beta in V` 和任意 `k, l in bbb P`,
	<span class="formula">
		`k bm alpha + l bm beta in V`.
	</span>
	`V != O/`, 以及 `V` 对加法和数乘封闭, 是构成线性空间的前提条件.
</p>

<p class="remark">
	线性空间的基本性质 i - iv 指出 `(V, +)` 构成一个 Abel 群.
  若把数域 `bbb P` 换成一般的环, 这里定义的就是抽象代数中的模.<br>
  数域是指特征为零的域. 代数学中的域有两种, 第一种特征为零,
  含有无穷多元素; 第二种特征为素数, 只有有限个元素, 即有限域.
</p>

<ol class="corollary" id="cor-simple-property">
	<b>线性空间的简单性质</b>
	<li>iii 中的 `bm theta` 是唯一的, 称为线性空间 `V` 中的<b>零向量</b>;
	</li>
	<li>设 `0` 是 `bbb P` 中的零元, `(AA bm alpha in V)`
		`0 bm alpha = bm theta`.
	</li>
	<li>`(AA k in bbb P)` `k bm theta = bm theta`;</li>
	<li>对任意 `bm alpha in V`, iv 中的 `bm alpha'` 是唯一的, 称为 `bm
		alpha` 的<b>负向量</b>, 记为 `-bm alpha`; 因此, `-(-bm alpha) = bm
		alpha`;
	</li>
	<li>`(AA bm alpha in V)` `(-1) bm alpha = -bm alpha`;</li>
	<li>消去律. `(AA bm alpha, beta, gamma in V)`
		`bm alpha + bm beta = bm alpha + bm gamma iff bm beta = bm gamma`.
	</li>
	<li>`(AA bm alpha in V, AA k in bbb P)`
		`k bm alpha = bm theta rArr k = 0 or bm alpha = bm theta`;
	</li>
	后面我们把 `bm alpha + (-bm beta)` 简记为 `bm alpha - bm beta`.
</ol>

<ol class="proof">
	<li>若 `bm theta'` 也是 `V` 的零向量, 则由交换律 (i) 和零元的定义
		(iii) 有
		<span class="formula">
			` bm theta'
			= bm theta' + bm theta
			= bm theta + bm theta'
			= bm theta`.
		</span>
	</li>
	<li>由 viii 和 vi 有
		<span class="formula">
			` bm alpha + 0 bm alpha
			= 1 bm alpha + 0 bm alpha
			= (1 + 0) bm alpha
			= 1 bm alpha
			= bm alpha`.
		</span>
		由零元唯一性知 `0 bm alpha = bm theta`.
	</li>
	<li>任取 `bm alpha in V`, 由简单性质 2 和 vii ,
		<span class="formula">
			` k bm theta
			= k (0 bm alpha)
			= (k*0) bm alpha
			= 0 bm alpha
			= bm theta`.
		</span>
	</li>
	<li>设 `bm alpha''` 也是 `bm alpha` 的负向量, 则由交换律,
		结合律和零元, 负元的定义有
		<span class="formula">
			` bm alpha''
			= bm alpha'' + bm theta
			= bm theta + bm alpha''
			= bm alpha + bm alpha' + bm alpha''
			= bm alpha' + bm alpha + bm alpha''
			= bm alpha' + bm theta
			= bm alpha'`.
		</span>
	</li>
	<li>由简单性质 2,
		<span class="formula">
			` bm alpha + (-1) bm alpha
			= 1 bm alpha + (-1) bm alpha
			= (1-1) bm alpha
			= 0 bm alpha
			= bm theta`.
		</span>
		由负元唯一性知 `(-1) bm alpha = -bm alpha`.
	</li>
	<li>`lArr`: 两边同时加上 `bm alpha`; `rArr`: 两边同时加上 `-bm alpha`.
	</li>
	<li>设 `k != 0`, 则由简单性质 3,
		<span class="formula">
			` bm alpha
			= 1 bm alpha
			= (k^-1 k) bm alpha
			= k^-1 (k bm alpha)
			= k^-1 bm theta
			= bm theta`.
		</span>
	</li>
</ol>

<ol class="remark" id="rem-reduce-dependency">
	零元, 负元的唯一性和消去律都是群的性质, 我们只由 ii, iii, iv
	就可以推出它们:
	<li>右负元也是左负元:
		对 `AA bm alpha in V`, 有 `bm alpha', (bm alpha')' in V`, 满足
		<span class="formula">
			` bm alpha + bm alpha'
			= bm alpha' + (bm alpha')'
			= bm theta`.
		</span>
		于是
		<span class="formula">
			` bm alpha' + bm alpha
			= bm alpha' + bm alpha + bm theta
			= bm alpha' + bm alpha + bm alpha' + (bm alpha')'`
			`= bm alpha' + bm theta + (bm alpha')'
			= bm alpha' + (bm alpha')'
			= bm theta`.
		</span>
	</li>
	<li>右零元也是左零元:
		对 `AA bm alpha in V`
		<span class="formula">
			` bm theta + bm alpha
			= bm alpha + bm alpha' + bm alpha
			= bm alpha + bm theta
			= bm alpha`.
		</span>
	</li>
	因此当 `bm alpha, bm beta in V` 中有一个是零元,
	或者有一个是另一个的负元时, `bm alpha + bm beta = bm beta + bm alpha`.
	从而上述<a class="ref" href="#cor-simple-property"></a>
	的 1, 4, 6 的证明实际上不依赖于交换律. 
</ol>

<p class="remark">
	线性空间定义中的 8 条基本性质不是相互独立的, 比如我们可以用 ii, iii,
	iv, v, vi, viii 来推出 i. 
	对任意 `bm gamma in V`, 由 vi 和 viii,
	<span class="formula">
		` 2 bm gamma
		= (1+1) bm gamma
		= 1 bm gamma + 1 bm gamma
		= bm gamma + bm gamma`.
	</span>
	于是对任意 `bm alpha, bm beta in V`, 由 ii,
	<span class="formula">
		` 2 (bm alpha + bm beta)
		= (bm alpha + bm beta) + (bm alpha + bm beta)
		= bm alpha + (bm beta + bm alpha) + bm beta`.
	</span>
	但由 v, ii 知 
	<span class="formula">
		` 2 (bm alpha + bm beta)
		= 2 bm alpha + 2 bm beta
		= (bm alpha + bm alpha) + (bm beta + bm beta)
		= bm alpha + (bm alpha + bm beta) + bm beta`.
	</span>
	由消去律 (从<a class="ref" href="#rem-reduce-dependency"></a> 知道,
	消去律只依赖于 ii, iii, iv) 知
	<span class="formula">
		`bm beta + bm alpha = bm alpha + bm beta`.
	</span>
</p>

<ol class="remark" id="rem-cancellation-law">
	线性空间定义中的 iii, iv 可由消去律代替.
	<li>任取 `bm alpha in V`, 记 `0 bm alpha = bm theta`.
		对任意 `bm beta in V`, 由于
		<span class="formula">
			` bm beta
			= (1+0) bm beta
			= bm beta + 0 bm beta`,
			<span class="label">(4-1)</span>
		</span>
		<span class="formula">
			` bm theta + bm theta
			= 0 bm alpha + 0 bm alpha
			= (0+0) bm alpha
			= bm theta`,
		</span>
		两式相加得
		<span class="formula">
			` bm beta + bm theta + bm theta
			= bm beta + 0 bm beta + bm theta`,
		</span>
		由消去律知 `bm theta = 0 bm beta`. 代入 (4-1) 即证得 iii.
	</li>
	<li>对任意 `bm beta in V`, 记 `-bm beta = (-1)bm beta`,
		则
		<span class="formula">
			` bm beta + (-bm beta)
			= bm beta + (-1)bm beta
			= 0 bm beta
			= bm theta`.
		</span>
	</li>
	因此, 联系<a class="ref" href="#rem-reduce-dependency"></a>
	至<a class="ref" href="#rem-cancellation-law"></a>,
	线性空间可以较弱地定义为: 满足 v - viii 的双消半群.
</ol>

<h3>线性子空间</h3>

<p class="definition">
	令 `(V";" +, *";" bbb P)` 为一线性空间, `O/ != V_1 sube V`.
	若 `(V_1";" +, *";" bbb P)` 也为一线性空间, 则称 `V_1` 为 `V`
	的<b>线性子空间</b>, 简称<b>子空间</b>, 记为 `V_1 le V`.
	进一步, 若 `V_1 != V`, 称 `V_1` 为 `V` 的<b>真子空间</b>,
	记为 `V_1 lt V`.
	<br/>
	显然对于任意数域 `bbb P` 上的任意线性空间 `V`, `V`
	自身和<b>平凡线性空间</b> `{bm theta}` 都是 `V` 的子空间,
	称为 `V` 的<b>平凡子空间</b>.
</p>

<ol class="theorem">
	令 `V` 为一线性空间, 则 `V` 的非空子集 `V_1` 为 `V` 的子空间当且仅当
	`V_1` 对 `V` 上的加法与数乘封闭.
	从而我们在验证线性子空间时, 不需要烦琐地逐一验证 8 条性质.
</ol>

<p class="proof">
	必要性显然, 今证充分性, 这只需再证明 `V_1`
	满足<a class="ref" href="#def-linear-space"></a> 的 8 条性质.
	由于 `V_1 sube V`, i, ii 及 v - viii 显然成立. 接下来证明 iii, iv
	成立. 任取 `bm alpha in V_1`, 则由<a class="ref"
		href="#cor-simple-property"></a>的 2 及 `V_1`
	对数乘的封闭性, `bm theta = 0 bm alpha in V_1`, 故 iii 成立.
	同理, 对任意 `bm alpha in V_1`, `-bm alpha = (-1) bm alpha in V_1`,
	故 iv 成立.
</p>

<p class="corollary">
	子空间的关系 "`le`" 具有传递性. 如果 `V` 为 `bbb P` 上一线性空间,
	`V_1 le V`, `V_2 le V_1`, 则 `V_2 le V`. 另外, 若 `V_3 le V`, `V_3
	sube V_1`, 则 `V_3 le V_1`.
	又显然 "`le`" 满足自反性和反对称性, 故为一偏序.
</p>

<ol class="corollary">
	令 `V` 为 `bbb P` 上一线性空间, `V_1, V_2 le V`. 则
	<li>`V_1 nn V_2 le V`, 称 `V_1 nn V_2` 为 `V_1` 与 `V_2` 的<b>交</b>.
		显然它是 `V` 的含于 `V_1` 也含于 `V_2` 的最大子空间.
	</li>
	<li>`V_1` 中元素与 `V_2` 中元素所有可能的和
		<span class="formula">
			`{bm alpha_1 + bm alpha_2: bm alpha_1 in V_1, bm alpha_2 in
			V_2} le V`,
		</span>
		称为 `V_1` 与 `V_2` 的<b>和</b>, 记为 `V_1 + V_2`.
		显然这是 `V` 的含 `V_1` 也含 `V_2` 的最小子空间.
	</li>
	<li>`V_1 uu V_2 le V` 当且仅当 `V_1 sube V_2` 或 `V_2 sube V_1`.</li>
</ol>

<ol class="proof">
	<li>因为 `bm theta in V_1 nn V_2`, 所以 `V_1 nn V_2 != O/`;
		再设 `bm alpha, bm beta in V_1 nn V_2`, `k, l in bbb P`,
		则由于 `V_1, V_2 le V`, `k bm alpha + l bm beta` 必同时含于 `V_1,
		V_2`, 即 `k bm alpha + l bm beta in V_1 nn V_2`.
	</li>
	<li>显然 `V_1 + V_2` 非空;
		再设 `bm alpha_1 + bm alpha_2,bm beta_1 + bm beta_2 in V_1 + V_2`,
		`k, l in bbb P`, 其中 `bm alpha_1, bm beta_1 in V_1`, `bm alpha_2,
		bm beta_2 in V_2`. 则
		<span class="formula">
			` k (bm alpha_1 + bm alpha_2) + l (bm beta_1 + bm beta_2)
			= (k bm alpha_1 + l bm beta_1) + (k bm alpha_2 + l bm beta_2)
			in V_1 + V_2`.
		</span>
		故 `V_1 + V_2 le V`. 现在设 `V' le V`, `V_1, V_2 sube V'`,
		则对 `AA bm alpha_1 in V_1`, `AA bm alpha_2 in V_2`, 由 `V'`
		的封闭性有 `bm alpha_1 + bm alpha_2 in V'`, 即 `V_1 + V_2 sube
		V'`.
	</li>
	<li>`lArr` 显然, 下证 `rArr`. 设 `V_1 sube V_2` 不成立,
		则 `EE bm alpha in V_1`, `bm alpha !in V_2`.
		对 `AA bm beta in V_2`, 由 `V_1 uu V_2 le V` 知
		`bm alpha + bm beta in V_1 uu V_2`.
		若 `bm alpha + bm beta in V_2`, 则
		`bm alpha = bm alpha + bm beta - bm beta in V_2`, 矛盾, 故
		`bm alpha + bm beta in V_1`. 于是
		`bm beta = bm alpha + bm beta - bm alpha in V_1`,
		得 `V_2 sube V_1`.
	</li>
</ol>

<h3>子空间的直和, 生成子空间</h3>

<p class="definition">
	令 `V` 为 `bbb P` 上一线性空间, `V_1, V_2 le V`. 若 `V_1 + V_2`
	中每一向量写为 `V_1` 和 `V_2` 中向量之和的方法唯一, 则称 `V_1 + V_2`
	为 `V_1` 与 `V_2` 的<b>直和</b>, 记为 `V_1 o+ V_2`.<br/>
	换言之, `V_1 + V_2` 为直和当且仅当映射 `V_1 xx V_2 to V_1 + V_2`:
	`(bm alpha, bm beta) to bm alpha + bm beta` 为单射; 而此映射总是满射,
	故 `V_1 + V_2` 为直和也当且仅当此映射是双射.
</p>

<ol class="theorem" id="the-direct-sum">
	假设如上述定义, 以下各款等价:
	<li>`V_1 + V_2` 是直和;</li>
	<li>存在向量 `bm alpha in V_1 + V_2`, 使得 `bm alpha` 写为 `V_1` 和
		`V_2` 中向量之和的方法唯一;
	</li>
	<li>零向量 `bm theta` 写为 `V_1` 和 `V_2` 中向量之和的方法唯一, 即 `bm
		theta = bm theta + bm theta`;
	</li>
	<li>`V_1 nn V_2 = {bm theta}`.</li>
</ol>

<ol class="proof">
	<li>`rArr` 2. 显然.</li>
	<li>`rArr` 3. 联系定理3-2 的证明,
		令 `bm alpha = bm alpha_1 + bm alpha_2`,
		`bm alpha_1 in V_1`, `bm alpha_2 in V_2`.
		若 `bm theta = bm beta_1 + bm beta_2`,
		`bm beta_1 in V_1`, `bm beta_2 in V_2`, 则
		<span class="formula">
			` bm alpha
			= bm alpha + bm theta
			= (bm alpha_1 + bm beta_1) + (bm alpha_2 + bm beta_2)`.
		</span>
		由 `bm alpha` 被表为 `V_1` 中向量与 `V_2` 中向量之和方式的唯一性,
		必有 `bm beta_1 = bm beta_2 = bm theta`.
	</li>
	<li>`rArr` 4.
		设 `bm alpha in V_1 nn V_2`, 则 `bm theta = bm alpha - bm alpha`,
		其中 `bm alpha in V_1`, `-bm alpha in V_2`. 由 `bm theta` 写为
		`V_1` 和 `V_2` 中向量之和的方法唯一, 有
		`bm alpha = -bm alpha = bm theta`.
	</li>
	<li>`rArr` 1.
		任取 `bm alpha in V_1 + V_2`,
		设 `bm alpha = bm alpha_1 + bm alpha_2 = bm beta_1 + bm beta_2`,
		其中 `bm alpha_1,bm beta_1 in V_1`,`bm alpha_2,bm beta_2 in V_2`.
		则
		<span class="formula">
			` bm gamma
			= bm alpha_1 - bm beta_1
			= bm beta_2 - bm alpha_2
			in V_1 nn V_2`.
		</span>
		由 4 知 `bm gamma = bm theta`. 故 `bm alpha_1 = bm beta_1`,
		`bm alpha_2 = bm beta_2`, 即 `V_1 + V_2` 是直和.
	</li>
</ol>

<p class="remark">
	子空间的和与直和可以推广到 `n` 个子空间的情形. 需要特别注意,
	<a class="ref" href="#the-direct-sum"></a>的 4 应该推广为
	<span class="formula">
		`V_i nn sum_(j=1,j!=i)^n V_j = {bm theta}`,
		`quad i = 1, 2, cdots, n`.
	</span>
	或者
	<span class="formula">
		`V_i nn sum_(j=1)^(i-1) V_j = {bm theta}`,
		`quad i = 2, 3, cdots, n`.
	</span>
</p>

<p class="definition">
	令 `V` 为 `bbb P` 上一线性空间,
	若 `bm alpha_1, bm alpha_2, cdots, bm alpha_n in V`,
	则它们的全体线性组合
	<span class="formula">
		`{sum_(i=1)^n k_i bm alpha_i: k_i in bbb P,
		i = 1, 2, cdots, n} le V`,
	</span>
	显然它是 `V` 的含 `bm alpha_1, bm alpha_2, cdots, bm alpha_n`
	的最小子空间, 称为<b>由 `bm alpha_1, bm alpha_2, cdots, bm alpha_n`
	生成的子空间</b>或<b>张成的子空间</b>, 记为
	`G[bm alpha_1, bm alpha_2, cdots, bm alpha_n]` 或
	`"span"[bm alpha_1, bm alpha_2, cdots, bm alpha_n]`. 容易说明
	<span class="formula">
		` G[bm alpha_1, bm alpha_2, cdots, bm alpha_n]
		= sum_(i=1)^n G[bm alpha_i]`.
		<span class="label" id="for-generated-subspace">(4-2)</span>
	</span>
</p>

<p> 子空间的直和与向量的线性无关性是很类似的概念.
	若将线性相关 (无关) 的概念从 `bbb P^n` 上推广到一般线性空间 `V`,
	注意<a class="ref" href="#the-direct-sum"></a>的 3, 我们有
</p>

<p class="corollary">
	令 `V` 为 `bbb P` 上一线性空间, `n` 个非零向量
	`bm alpha_1, bm alpha_2, cdots, bm alpha_n in V` 线性无关当且仅当
	<a class="ref" href="#for-generated-subspace"></a> 是直和.
</p>

<p>	事实上, 将第三章各定义中的 `bbb P^n` 换成一般线性空间 `V`, 则
	极大线性无关组, 向量组的秩,
	等价向量组等概念以及相关结论都可以推广到线性空间中. 这里不再赘述.
</p>

<h2>线性空间的维数与基底</h2>

<h3>维数与基底</h3>

<!--
<p class="definition">
	令 `V` 为 `bbb P` 上一线性空间, 且具有有限生成集 (定义3-4)
	<span class="formula">
		`S = {bm alpha_1, bm alpha_2, cdots, bm alpha_n}`,
	</span>
	即 `V = G[S]`.  称 `r_S` 为线性空间 `V` 的<b>维数</b>,
	记为 `"dim"V`. 由<a href="3.html#cor-rank-and-equality">推论3-7</a>
	的 2, 维数不依赖于生成集的选择.
	易知 `V` 的维数等于 `V` 中极大无关组所含向量的个数. 
	<br/>
	由定义知道, 零维的线性空间只有平凡线性空间 `{bm theta}`.
	称具有有限生成集的线性空间是<b>有限维的</b>,
	否则称它是<b>无穷维的</b>.
	我们将把讨论的重点放在有限维线性空间上.
</p>

<p class="definition" id="def-base">
	令 `V` 为 `bbb P` 上一 `n` 维线性空间, `n ge 1`. 若 `bm epsi_1, bm
	epsi_2, cdots, bm epsi_n in V` 线性无关, 则称有序向量组
	<span class="formula">
		`(bm epsi_1, bm epsi_2, cdots, bm epsi_n)`
	</span>
	为 `V` 的一组<b>基底</b>或<b>基</b>.
	由 `"dim"V = n` 知, `V` 有一个含 `n` 个向量的极大无关组.
	由<a href="3.html#the-max-number-of-independent-vectors">定理3-5</a>,
	`bm epsi_1, bm epsi_2, cdots, bm epsi_n`
	本身即是 `V` 的一个极大无关组, 从而对任意 `bm alpha in V`,
	存在唯一 (唯一性由
	<a href="3.html#the-uniqueness-of-linear-presentation">定理3-2</a>
	保证) 的 `x_i in bbb P`,
	`i = 1, 2, cdots, n` 使得 `bm alpha = sum_(i=1)^n x_i bm epsi_i`.
	称
	<span class="formula">
		`(x_1, x_2, cdots, x_n) in bbb P^n`
	</span>
	为 `bm alpha` 在该基底下的<b>坐标</b>.
</p>

<ol class="remark">
	联系<a class="ref" href="#def-base"></a>
	<li>对于 `1, 2, cdots, n` 的任意一个排列
		`i_1, i_2, cdots, i_n`,
		`(bm epsi_(i_1), bm epsi_(i_2), cdots, bm epsi_(i_n))` 也是
		`V` 的一个基底, 且 `bm alpha` 在新基底下的坐标为
		`(x_(i_1), x_(i_2), cdots, x_(i_n))`.
	</li>
	<li>对于任意 `k in bbb P\\{0}`, `(k bm epsi_1, k bm epsi_2, cdots, k
		bm epsi_n)` 也是 `V` 的一个基底, 且 `bm alpha` 在新基底下的坐标为
		`(x_1/k, x_2/k, cdots, x_n/k)`.
	</li>
	因此 `n ge 1` 时, `V` 有无穷多基底.
</ol>

<p class="remark">
	在非平凡有限维线性空间 `V` 中, 如果已知 `"dim"V = n`,
	那么 `V` 的任意含 `n` 个向量的无关向量组按任意顺序都构成
	`V` 的一个基底 (这也是我们的定义).
	反之如果找到一个极大无关向量组
	`bm epsi_1, bm epsi_2, cdots, bm epsi_n`, 就同时得到了 `"dim"V = n`
	和一个基底 `(bm epsi_1, bm epsi_2, cdots, bm epsi_n)`;
	这就是定义维数与基底的另一思路 (这一思路好像更直接些? -_-||).
</p>
-->

<p class="definition">
	令 `V` 为 `bbb P` 上一线性空间, 如果存在无关向量组
	`S = {bm epsi_1, bm epsi_2, cdots, bm epsi_n}`, 使得
	`V = G[S]` (换言之, `S` 是 `V` 的一个极大无关组),
	则由于任意极大无关组含向量个数相等, 可以定义这个数字为 `V`
	的<b>维数</b>, 即 `"dim"V = n`.
	称有序向量组
	<span class="formula">
		`(bm epsi_1, bm epsi_2, cdots, bm epsi_n)`
	</span>
	为 `V` 的一组<b>基底</b>或<b>基</b>.
	由 `S` 是 `V` 的极大无关组知, 对任意 `bm alpha in V`, 存在唯一的
	`x_i in bbb P`, `i = 1, 2, cdots, n` 使得 `bm alpha = sum_(i=1)^n x_i
	bm epsi_i`. 称
	<span class="formula">
		`(x_1, x_2, cdots, x_n) in bbb P^n`
	</span>
	为 `bm alpha` 在该基底下的<b>坐标</b>.<br/>
	规定平凡线性空间 `{bm theta}` 的维数为 `0`, 它的基底为空的有序组 `()`.
	此外, 若线性空间 `V`
	不能由有限集生成, 即不存在有限集 `S` 使得 `V = G[S]`, 则称 `V`
	是<b>无穷维</b>的. 无穷维线性空间已经超出本文的范围,
	将在泛函分析中进一步讨论.
</p>

<p class="remark">
	基可以是无序的, 但为了使坐标有序, 这里要求基是一有序组.
</p>

<p class="corollary">
	完全类似于向量组的扩充定理, 可以证明:
	有限维线性空间 `V` 中任一无关向量组可以扩充为 `V` 的一个基底.
</p>

<p class="theorem">
	令 `V_1, V_2` 是线性空间 `V` 的有限维子空间.
	取 `V_1 nn V_2` 的一个基 `(bm alpha_1, cdots, bm alpha_l)`,
	分别扩充为 `V_1` 的基
	<span class="formula">
		`"I" = (bm alpha_1, cdots, bm alpha_l, bm beta_1, cdots, bm
		beta_m)`
	</span>
	和 `V_2` 的基
	<span class="formula">
		`"II" = (bm alpha_1, cdots, bm alpha_l, bm gamma_1, cdots, bm
		gamma_n)`,
	</span>
	则
	<span class="formula">
		`"III" = (bm alpha_1, cdots, bm alpha_l, bm beta_1, cdots, bm
		beta_m, bm gamma_1, cdots, bm gamma_n)`
	</span>
	为 `V_1 + V_2` 的一个基.
</p>

<p class="proof">
	由 `V_1 = G["I"]`, `V_2 = G["II"]` 有 `V_1 + V_2 = G["III"]`.
	下证这一向量组线性无关. 设
	<span class="formula">
		`sum_(i=1)^l p_i bm alpha_i + sum_(i=1)^m q_i bm beta_i
		+ sum_(i=1)^n r_i bm gamma_i = bm theta`,
	</span>
	记
	<span class="formula">
		`bm alpha := sum_(i=1)^l p_i bm alpha_i + sum_(i=1)^m q_i bm
		beta_i`
		`= -sum_(i=1)^n r_i bm gamma_i`,
	</span>
	上式左边 `in V_1`, 右边 `in V_2`, 故 `bm alpha in V_1 nn V_2`.
	设 `bm alpha = sum_(i=1)^l x_i bm alpha_i`, 联系上式有
	<span class="formula">
		`sum_(i=1)^l x_i bm alpha_i + sum_(i=1)^n r_i bm gamma_i = bm
		theta`.
	</span>
	于是由 `"II"` 是 `V_2` 的基, 从而线性无关有
	<span class="formula">
		`x_1 = cdots = x_l = r_1 = cdots = r_n = 0`,
	</span>
	这指出 `bm alpha = bm theta`. 再由 `"I"` 是 `V_1` 的基, 有
	<span class="formula">
		`p_1 = cdots = p_l = q_1 = cdots = q_m = 0`.
	</span>
	从而 `"III"` 是线性无关的, 综上得到 `"III"` 是 `V_1 + V_2` 的基.
</p>

<p class="corollary">
	<b>维数公式</b>
	令 `V_1, V_2` 是线性空间 `V` 的有限维子空间, 则
	<span class="formula">
		`"dim"(V_1 + V_2) + "dim"(V_1 nn V_2) = "dim"V_1 + "dim"V_2`.
	</span>
</p>

<ol class="corollary">
	令 `V_1, V_2` 是线性空间 `V` 的有限维子空间, 则以下各款等价:
	<li>`V_1 + V_2` 是直和;</li>
	<li>`"dim"V_1 + "dim"V_2 = "dim"(V_1+V_2)`;</li>
	<li>若 `(bm alpha_1, cdots, bm alpha_m)`, `(bm beta_1, cdots, bm
		beta_n)` 分别是 `V_1, V_2` 的基, 则 `(bm alpha_1, cdots, bm
		alpha_m, bm beta_1, cdots, bm beta_n)` 是 `V_1 + V_2` 的基.
	</li>
</ol>

<p class="example">
	从线性空间的观点来看线性方程组理论. 设 `bm A in bbb P^(m xx n)`,
	`bm X in bbb P^(n xx 1)`. 设齐次线性方程组
	`bm (A X) = bb 0` 的解集为 `S_0`. 记 `r = r_(bm A)`,
	由第三章知, `S_0` 中任意两个解的线性组合仍在 `S_0` 中,
	因此 `S_0 le bbb P^n`, 称为方程组 `bm (A X) = bb 0` 的<b>解空间</b>.
	此外, `S_0` 中存在 `n-r` 个向量组成的极大线性无关组 (基础解系),
	这个无关组就构成解空间 `S_0` 的一个基底, 因此 `"dim"S_0 = n-r`.
</p>

<ol class="example"> *
	定义 `RR^n` 到 `RR` 的映射如下:
	<span class="formula">
		`f(X) = sum_(i=1)^r |x_i| - sum_(i=r+1)^(r+s) |x_i|`, `AA X =
		(x_1, x_2, cdots, x_n)^T in RR^n`,
	</span>
	其中 `r ge s ge 0`, `r+s le n`.
	证明:
	<li>存在 `RR^n` 的一个 `n-r` 维子空间 `W`, 使得 `f(X) = 0`, `AA X in
		W`;
	</li>
	<li>若 `W_1, W_2` 是 `RR^n` 的两个 `n-r` 维子空间, 且满足 `f(X) = 0`,
		`AA X in W_1 uu W_2`, 则一定有 `"dim" (W_1 nn W_2) ge n - (r +
		s)`.
	</li>
</ol>

<ol class="proof">
	<li>易知 `f` 是线性的. (?)
		用 `epsi_i` 表示 `RR^n` 中第 `i` 个分量为 `1`, 其余分量为 `0`
		的向量. 可以验证下面 `n-r` 个向量满足 `f(X) = 0`, 且线性无关:
		<span class="formula">
			`epsi_1 + epsi_(r+1), epsi_2 + epsi_(r+2), cdots, epsi_s +
			epsi_(r+s), epsi_(r+s+1), cdots, epsi_n`.
		</span>
		将 `W` 取为由这些向量生成的子空间即可.
	</li>
	<li>记
		<span class="formula">
			`V_1 = G[epsi_1, cdots, epsi_(r+s)]`,<br/>
			`V_2 = G[epsi_(r+s+1), cdots, epsi_n]`.
		</span>
		只需证任意满足 `f(X) = 0`, `AA X in W` 的 `n-r` 维子空间 `W`
		一定包含了子空间 `V_2`.
		首先易知 `V_1 nn V_2 = {bm theta}`, 故 `W nn V_1 nn V_2 = {bm
		theta}`, 从而 `W` 有直和分解
		<span class="formula">
			`W = W nn V_1 + W nn V_2`.
		</span>
		得到
		<span class="formula">
			`"dim" W = "dim"(W nn V_1) + "dim"(W nn V_2)`.
		</span>
		下证
		<span class="formula">
			`"dim"(W nn V_1) le s`.
		</span>
		事实上, 取 `W nn V_1` 的基 `bm alpha_1, cdots, bm alpha_m`, 令
		<span class="formula">
			`bm A = [bm E_r,bm O; bm O,bm O]_(n xx n)`,
		</span>
		若存在 `k_i in RR`, `i = 1, 2, cdots, m` 使得
		<span class="formula">
			`sum_(i=1)^m k_i (bm E - bm A) bm alpha_i = bm theta`,
		</span>
		注意到 `bm alpha_1, cdots, bm alpha_m in W` 有
		<span class="formula">
			`f( sum_(i=1)^m k_i bm alpha_i ) = 0`,
		</span>
		于是
		<span class="formula">
			`  f( sum_(i=1)^m k_i bm A bm alpha_i )`
			`= f( sum_(i=1)^m k_i bm alpha_i
			   - sum_(i=1)^m k_i (bm E-bm A) bm alpha_i )
			= 0`,
		</span>
		由 `f` 定义推出
		<span class="formula">
			`sum_(i=1)^m k_i bm A bm alpha_i = bm theta`,
		</span>
		于是
		<span class="formula">
			` sum_(i=1)^m k_i bm alpha_i`
			`= sum_(i=1)^m k_i bm A bm alpha_i
			  + sum_(i=1)^m k_i (bm E-bm A) bm alpha_i
			= bm theta`.
		</span>
		由 `bm alpha_1, cdots, bm alpha_m` 线性无关知 `k_1 = cdots = k_m =
		0`, 从而 `{(bm E - bm A) bm alpha_i}_(i=1)^m` 也线性无关.
		注意到该向量组中向量的 `1~r`, `r+s+1~n` 分量全部为零,
		这推出 `"dim"(W nn V_1) = m le s`.

		于是
		<span class="formula">
			` "dim"(W nn V_2)
			= "dim" W - "dim"(W nn V_1) ge n - r - s = "dim"V_2`.
		</span>
		这推出 `W nn V_2 = V_2`, 即 `V_2 sube W`.
	</li>
</ol>

<h3>坐标变换</h3>

<p class="definition">
	令 `"I" = (bm xi_1, bm xi_2, cdots, bm xi_n)`,
	`"II" = (bm eta_1, bm eta_2, cdots, bm eta_n)` 是有限维线性空间 `V`
	的两个基底, 其中
	<span class="formula">
		`bm eta_j = sum_(i=1)^n a_(i j) bm xi_i`,
		`quad j = 1, 2, cdots, n`.
	</span>
	记 `bm A = (a_(i j))_(n xx n)`
	`= (bm A_1, bm A_2, cdots, bm A_n)`,
	上式形式地记为
	<span class="formula">
		`(bm eta_1, bm eta_2, cdots, bm eta_n)`
		`= (bm xi_1, bm xi_2, cdots, bm xi_n) bm A`,
	</span>
	其中
	<span class="formula">
		`bm eta_j = (bm xi_1, bm xi_2, cdots, bm xi_n) bm A_j`,
		`quad j = 1, 2, cdots, n`.
	</span>
	矩阵 `bm A` 称为基底 `"I"` 到 `"II"` 的<b>过渡矩阵</b>.
</p>

<p class="theorem">
	设 `V` 为有限维线性空间, `"I" = (bm xi_1, bm xi_2, cdots, bm xi_n)`
	是一个基, 若方阵 `bm A` 和向量组
	`"II" = (bm eta_1, bm eta_2, cdots, bm eta_n)` 满足
	<span class="formula">
		`(bm eta_1, bm eta_2, cdots, bm eta_n)`
		`= (bm xi_1, bm xi_2, cdots, bm xi_n) bm A`,
	</span>
	则 `"II"` 是 `V` 的基当且仅当 `bm A` 可逆.
	从而, 基底间的过渡矩阵都可逆.
</p>

<p class="proof">
	"`rArr`": 反设 `bm A` 不可逆, 即 `r_(bm A) lt n`, 则 `bm A`
	的某一列可以被其他列线性表出, 不妨设这一列是 `bm A_n`:
	<span class="formula">
		`bm A_n = sum_(j=1)^(n-1) k_j bm A_j`.
	</span>
	从而
	<span class="formula">
		`bm eta_n = (bm xi_1, cdots, bm xi_n) bm A_n`
		`= (bm xi_1, cdots, bm xi_n) sum_(j=1)^(n-1) k_j bm A_j`
		`= sum_(j=1)^(n-1) k_j (bm xi_1, cdots, bm xi_n) bm A_j`
		`= sum_(j=1)^(n-1) k_j bm eta_j`.
	</span>
	从而 `bm eta_1, cdots, bm eta_n` 线性相关, 矛盾.<br/>
	"`lArr`": 向量组右乘一可逆矩阵, 相当于作有限次关于向量的初等变换,
	因此秩不变, 向量组 `"II"` 仍线性无关. 但 `"II"` 中有 `n` 个向量,
	说明它已经极大, 因此是 `V` 的基.
</p>

<p class="theorem">
	<b>坐标变换公式</b>
	设 `V` 为有限维线性空间,
	`"I" = (bm xi_1, bm xi_2, cdots, bm xi_n)`,
	`"II" = (bm eta_1, bm eta_2, cdots, bm eta_n)`
	是它的两个基, 则
	<span class="formula">
		`(bm eta_1, bm eta_2, cdots, bm eta_n) = (bm xi_1, bm xi_2,
		cdots, bm xi_n) bm A`
	</span>
	当且仅当对任意 `bm alpha in V`, 其在 `"I", "II"` 下的坐标
	`bm X, bm Y in bbb P^(n xx 1)` 满足
	<span class="formula">
		`bm X = bm (A Y)`, 即 `bm Y = bm (A^-1 X)`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	"`rArr`": 由已知
	<span class="formula">
		`(bm xi_1, bm xi_2, cdots, bm xi_n) bm X`
		`= (bm eta_1, bm eta_2, cdots, bm eta_n) bm Y`
		`= (bm xi_1, bm xi_2, cdots, bm xi_n) bm (A Y)`.
	</span>
	由同一基底下坐标的唯一性得 `bm X = bm (A Y)`.<br/>
	"`lArr`": 取 `bm alpha = bm eta_j`, 则 `bm Y = bm epsi_j`
	(单位列向量), `bm X = bm (A epsi)_j = bm A_j` (`bm A` 的第 `j` 列).
	从而
	<span class="formula">
		`bm alpha = bm eta_j = (bm xi_1, bm xi_2, cdots, bm xi_n) bm
		A_j`,
		`quad j = 1, 2, cdots, n`.
	</span>
	即得所要证的结果.
</p>

<script src="../../js/note.js?type=math"></script>
</body>
</html>
